Quan sát hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có hai đường chéo AC và BD bằng nhau. Kẻ BE song song với AC

Hoạt động 4 trang 102, 103 Toán 8 Tập 1: Quan sát hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có hai đường chéo AC và BD bằng nhau. Kẻ BE song song với AC (E thuộc đường thẳng CD) (Hình 27).

a) Hai tam giác ABC và ECB có bằng nhau hay không?

b) So sánh các cặp góc: $\widehat{BED}$ và $\widehat{BDE}$ và $\widehat{ACD}$ và $\widehat{BED}$.

c) Hai tam giác ACD và BDC có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh $\widehat{ADC}$ và $\widehat{BCD}$.

d) ABCD có phải là hình thang cân hay không?

Trả lời

a) Do AB // CD hay AB // CE nên $\widehat{ABC}=\widehat{ECB}$ (so le trong).

Do BE // AC nên $\widehat{ACB}=\widehat{EBC}$ (so le trong).

Xét ΔABC và ΔECB có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên);

BC là cạnh chung;

$\widehat{ACB}=\widehat{EBC}$ (chứng minh trên).

Do đó ΔABC = ΔECB (g.c.g).

b) Do ΔABC = ΔECB (theo câu a) nên AC = EB (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = BD (giả thiết)

Suy ra BD = BE nên tam giác BDE là tam giác cân tại B.

Suy ra $\widehat{BDE}=\widehat{BED}$ (tính chất tam giác cân).

Do BE // AC nên $\widehat{ACD}=\widehat{BED}$ (đồng vị).

c) Ta có $\widehat{BDE}=\widehat{BED}$ và $\widehat{ACD}=\widehat{BED}$ (theo câu b) nên $\widehat{BDE}=\widehat{ACD}\left(=\widehat{BED}\right)$.

Xét ΔACD và ΔBDC có:

DC là cạnh chung;

$\widehat{BDE}=\widehat{ACD}$ (chứng minh trên);

AC = BD (giả thiết)

Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng).

d) Hình thang ABCD có $\widehat{ADC}$, $\widehat{BCD}$ cùng kề với đáy DC và $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên ABCD là hình thang cân.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Định lí Pythagore

Bài 2: Tứ giác

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành