Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31. a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Bài 2 trang 104 Toán 8 Tập 1: Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.  

Trả lời

a) Do ΔABE, ΔBED, ΔBDC là các tam giác đều nên $\widehat{ABE}=\widehat{EBD}=\widehat{DBC}=60°$

Do đó, $\widehat{ABC}=\widehat{ABE}+\widehat{EBD}+\widehat{DBC}=60°+60°+60°=180°$ 

Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Do ΔABE, ΔBED là các tam giác đều nên $\widehat{ABE}=\widehat{BED}=60°$ 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // ED

Tứ giác ACDE có AC // ED nên là hình thang.

Mặt khác, $\widehat{EAC}=\widehat{DCA}=60°$ (do ΔABE, ΔBDC là các tam giác đều)

Do đó hình thang ACDE là hình thang cân.

c) Vẽ đường cao EH của tam giác AEB.

Do AEB là tam giác đều nên H là trung điểm của AB, do đó $HB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$.

Xét ΔEHB vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

EB² = EH² + HB²

Do đó EH² = EB² – HB² = $a^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=a^2-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{3}{4}{a}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

Suy ra $EH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có AC = AB + BC = a + a = 2a.

Diện tích hình thang cân ACDE là:

$S=\frac{1}{2}.\left(ED+AC\right).EH=\frac{1}{2}.\left(a+2a\right).\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.3a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{4}$ (đơn vị diện tích).

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Định lí Pythagore

Bài 2: Tứ giác

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành