Giải SGK Toán 8 (Cánh Diều) Bài 5: Hình chữ nhật

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 5: Hình chữ nhật

Khởi động trang 109 Toán 8 Tập 1:

Màn hình phẳng của chiếc ti vi ở Hình 46 có dạng hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

‒ Hình chữ nhật có:

+ Bốn góc vuông;

+ Hai cạnh đối song song và bằng nhau;

+ Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

‒ Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật:

+ Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 109 Toán 8 Tập 1: Cho biết số đo mỗi góc của tứ giác ABCD ở Hình 47.

Lời giải:

Mỗi góc của tứ giác ABCD ở Hình 47 có số đo bằng 90°.

II. Tính chất

Hoạt động 2 trang 109 Toán 8 Tập 1: a) Mỗi hình chữ nhật có là một hình thang cân hay không?

b) Mỗi hình chữ nhật có là một hình bình hành hay không?

Lời giải:

a) Mỗi hình chữ nhật là một hình thang cân (do nó là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau và bằng 90°).

b) Mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành (do nó có hai cặp góc đối bằng nhau và cùng bằng 90°).

Luyện tập 1 trang 110 Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC. Chứng minh $MN=\frac{1}{2}AC$.

Lời giải:

Do M, N lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC nên OM ⊥ AB và ON ⊥ BC.

Xét tứ giác OMBN có $\widehat{OMB}=\widehat{MBN}=\widehat{BNO}=90°$.

Do đó tứ giác OMBN là hình chữ nhật.

Suy ra OB = MN.

Do ABCD là hình chữ nhật nên OB = OD = $MN=\frac{1}{2}AC$

Khi đó $MN=OB=\frac{1}{2}AC$.

Vậy $MN=\frac{1}{2}AC$.

III. Dấu hiệu nhận biết

Hoạt động 3 trang 110 Toán 8 Tập 1: a) Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}=90°$. ABCD có phải là hình chữ nhật hay không?

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau (Hình 50).

• Hai tam giác ABC và DCB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh $\widehat{ABC}$ và $\widehat{DCB}.$

• ABCD có phải là hình chữ nhật hay không?

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và $\widehat{C}=\widehat{A}=90°$, $\widehat{B}=\widehat{D}$.

Mặt khác do AB // CD nên $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$ 

Suy ra $\widehat{D}=180°-\widehat{A}=180°-90°=90°$

Do đó tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{C}=\widehat{B}=\widehat{D}=90°$ nên là hình chữ nhật.

b) • Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Xét ΔABC và ΔDCB có:

BC là cạnh chung;

AB = DC (chứng minh trên);

AC = DB (giả thiết)

Do đó ΔABC = ΔDCB (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{DCB}$ (hai góc tương ứng)

• Do AB // CD nên $\widehat{ABC}+\widehat{DCB}=180°$

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=180°$

            $2\widehat{ABC}=180°$

             $\widehat{ABC}=90°$.

Theo kết quả của câu a, hình bình hành ABCD có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Luyện tập 2 trang 111 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn $\widehat{OAB}=\widehat{ODC}$. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và OA = OC; OB = OD.

Từ AB // CD suy ra $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$ hay $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$.

Mà $\widehat{OAB}=\widehat{ODC}$ (giả thiết) nên $\widehat{ODC}=\widehat{OCD}$ (cùng bằng $\widehat{OAB}$)

Do đó tam giác ODC có $\widehat{ODC}=\widehat{OCD}$ là tam giác cân tại O

Suy ra OD = OC.

Mà OA = OC; OB = OD (chứng minh trên)

Do đó OA = OB = OC = OD, nên AC = BD

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC = BD nên là hình chữ nhật.

Bài tập

Bài 1 trang 111 Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, $\widehat{A}=90°$. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Lời giải:

Do ABCD là hình thang cân có AB // CD nên $\widehat{B}=\widehat{A}=90°,\widehat{C}=\widehat{D}$.

Vì AB // CD nên $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$

Suy ra $\widehat{D}=180°-\widehat{A}=180°-90°=90°$

Do đó hình thang cân ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90°$ nên là hình chữ nhật.

Bài 2 trang 111 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là sao hình chữ nhật và $AM=\frac{1}{2}BC$.

Lời giải:

Do MD = MA (giả thiết) nên M là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Do đó ABDC là hình bình hành.

Lại có $\widehat{BAC}=90°$.

Do đó hình bình hành ABDC là hình chữ nhật.

Suy ra AD = BC.

Mà $AM=\frac{1}{2}AD$ (do M là trung điểm của AD) nên $AM=\frac{1}{2}BC$.

Bài 3 trang 111 Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho $\widehat{AEB}=78°$, $\widehat{EBC}=39°$. Tính số đo của $\widehat{BEC}$ và $\widehat{EAB}$.

Lời giải:

Xét tam giác BEC vuông tại C có:

$\widehat{BEC}+\widehat{EBC}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{BEC}=90°-39°=51°$.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD

Suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{BEC}=51°$(so le trong).

Xét tam giác ABE có: $\widehat{EAB}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{EAB}=180°-\widehat{ABE}-\widehat{AEB}=180°-51°-78°=51°$.

Bài 4 trang 111 Toán 8 Tập 1: Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông, AB = 400 m, AD = 300 m. Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình 52). Tính khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D.

Lời giải:

Xét tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{D}=90°$ .

Do đó ABCD là hình chữ nhật.

Khi đó CB = AD = 300 m, CD = AB = 400 m.

Xét ΔABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC²

Suy ra $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{400}^2+{300}^2}=500\left(m\right)$.

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D lần lượt là 500 m, 300 m và 400 m.

Bài 5 trang 111 Toán 8 Tập 1: Bạn Linh có một mảnh giấy dạng hình tròn. Bạn Linh đố bạn Bình: Làm thế nào có thể chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật?

Bạn Bình đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Sau đó lại gấp tương tự mảnh giấy đó nhưng theo đường kính mới và đánh dấu hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật (Hình 53).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Bình.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường kính AC và BD.

Do đó OA = OB = OC = OD (vì cùng bằng bán kính của hình tròn)

Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mặt khác AC và BD là đường kính của hình tròn nên AC = BD

Do đó hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC, BD bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình thang cân

Bài 4: Hình bình hành