Phương trình 4 x ^ log 8 x + x ^ log 8 4x = 4  có tập nghiệm là

A. {2;8}

B. $\left\{\frac{1}{2};8\right\}$

C. $\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{8}\right\}$

D. $\left\{2;\frac{1}{8}\right\}$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x > 0

 $4x^{{\log }_{8}x}+x^{{\log }_{8}4x}=4$

 $\iff x^{{\log }_{8}4x}+x^{{\log }_{8}4x}=4$ 

 $\iff x^{{\log }_{8}4x}=2$

 $\iff {\log }_8\left(x^{{\log }_{8}4x}\right)={\log }_{8}2$

$\iff {\log }_{8}x\left(\frac{2}{3}+{\log }_{8}x\right)=\frac{1}{3}$

Đặt  $t={\log }_{8}x$

Phương trình trở thành:

$t\left(\frac{2}{3}+t\right)=\frac{1}{3}\iff t^2+\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}=0$$\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{1}{3}\\ t=-1\end{array}\right.$

Với  $t=\frac{1}{3}\Rightarrow {\log }_{8}x=\frac{1}{3}\iff x=2$

Với  $t=-1\Rightarrow {\log }_{8}x=-1\iff x=\frac{1}{8}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:  $S=\left\{2;\frac{1}{8}\right\}$.