Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98

Bài 7 trang 115 Toán 11 Tập 2: Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Trả lời

Mô hình hóa chân tháp của bài toán bằng khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, với O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy ABCD và A’B’C’D’.

Như vậy ta có:

⦁ ABCD là hình vuông cạnh 5 có diện tích S_ABCD = 5² = 25;

⦁ A’B’C’D’ là hình vuông cạnh 2 có diện tích S_{A’B’C’D’} = 2² = 4;

⦁ Các cạnh bên A’A, B’B, C’C, D’D có độ dài bằng 3;

⦁ OO’ vuông góc với (ABCD) và (A’B’C’D’).

Do ABCD là hình vuông nên $\widehat{ABC}=90°,$ do đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² = 5² + 5² = 50.

Suy ra $AC=5\sqrt{2}.$

Do đó $CO=\frac{AC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ (do O là tâm hình vuông ABCD).

Do A’B’C’D’ là hình vuông nên $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=90°,$ do đó tam giác A’B’C’ vuông tại B’.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A’B’C’ vuông tại B’ có:

A’C’² = A’B’² + B’C’² = 2² + 2² = 8.

Suy ra $A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=2\sqrt{2}.$

Do đó $C^{\text{'}}{O}^{\text{'}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ (do O’ là tâm hình vuông A’B’C’D’).

Dễ thấy: (ABCD) ∩ (A’C’CA) = AC;

              (A’B’C’D’) ∩ (A’C’CA) = A’C’.

Mà (ABCD) // (A’B’C’D’).

Suy ra AC // A’C’ hay A’C’CA là hình thang.

Xét hình thang A’C’CA, kẻ C’H ⊥ AC (H ∈ AC).

Vì OO’ ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên OO’ ⊥ AC.

Do đó C’H // OO’ (cùng vuông góc với AC).

Mà O’C’ // OH (do A’C’ // AC)

Suy ra O’C’HO là hình bình hành.

Do đó: OO’ = C’H và $OH=C^{\text{'}}{O}^{\text{'}}=\sqrt{2}.$

Suy ra $HC=OC-OH=\frac{5\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác C’HC vuông tại H (do C’H ⊥ AC) có:

C’C² = C’H² + HC²

Suy ra $C^{\text{'}}H=\sqrt{C^{\text{'}}{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Do đó $O{O}^{\text{'}}=C^{\text{'}}H=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ với chiều cao $O{O}^{\text{'}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ và diện tích hai đáy S_ABCD = 25, S_{A’B’C’D’} = 4 là:

$V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(25+\sqrt{25.4}+4\right)=\frac{39\sqrt{2}}{2}$(m³).

Như vậy ta có thể tích của chân tháp đã cho bằng $\frac{39\sqrt{2}}{2}$ (m³).

Vì chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³ nên số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

$\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000\approx 40538432$ (đồng).

Vậy số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp khoảng 40 538 432 đồng.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: