Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Hình ảnh tường nhà vuông góc với nền nhà gợi nên khái niệm nào trong hình học?
Lời giải:
Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Hình ảnh tường nhà vuông góc với nền nhà gợi nên khái niệm hai mặt phẳng vuông góc.
I. Định nghĩa
Lời giải:
Hai vách ngăn tủ được thiết kế vuông góc với nhau nên dễ dàng thấy được các góc nhị diện được tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) là những góc nhị diện vuông.
Lời giải:
Những ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc là: Mặt tường vuông góc với sàn nhà, mặt ngang vuông góc với mặt đứng của bậc thang, …
II. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
a) Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (Q);
b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vuông góc với nhau không.
Lời giải:
Quan sát Hình 48 ta thấy:
a) Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).
b) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vuông góc với nhau.
Lời giải:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên SA ⊥ BD.
Vì ABCD là hình thoi nên BD ⊥ AC.
Ta có: BD ⊥ SA, BD ⊥ AC và SA ∩ AC = A trong (SAC).
Suy ra BD ⊥ (SAC).
Mà BD ⊂ (SBD) nên (SAC) ⊥ (SBD).
III. Tính chất
Hoạt động 3 trang 97 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.OAB thoả mãn (AOS) ⊥ (AOB), (Hình 51)
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) là đường thẳng nào?
b) SO có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) hay không?
c) SO có vuông góc với mặt phẳng (AOB) hay không?
Lời giải:
a) Ta có: A ∈ (AOS) ∩ (AOB);
O ∈ (AOS) ∩ (AOB).
Suy ra AO = (AOS) ∩ (AOB).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB) là đường thẳng AO.
b) Ta có nên SO ⊥ AO.
Mà AO là giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).
Vậy SO vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (AOS) và (AOB).
c) Vì nên AO ⊥ OB.
Ta có: AO ⊥ OB, AO ⊥ SO và OB ∩ SO = O ∈ AO.
Suy ra là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, AO, B].
Vì (AOS) ⊥ (AOB) nên
Ta có: SO ⊥ OA, SO ⊥ OB (do
OA ∩ OB = O trong (AOB).
Suy ra SO ⊥ (AOB).
Vậy SO vuông góc với mặt phẳng (AOB).
Lời giải:
Vì B ∈ (ABD) ∩ (BCD);
D ∈ (ABD) ∩ (BCD).
Suy ra BD = (ABD) ∩ (BCD).
Ta có: (ABD) ⊥ (BCD);
(ABD) ∩ (BCD) = BD;
CD ⊂ (BCD) và CD ⊥ BD.
Suy ra CD ⊥ (ABD).
Mà AD ⊂ (ABD) nên CD ⊥ AD.
Vậy tam giác ACD vuông tại D.
Lời giải:
Hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Khi đó đường thẳng đi qua gáy sách chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Do bìa sách có dạng hình chữ nhật nên gáy sách AB sẽ vuông góc với mép dưới của sách là BC và BD
Mà BC và BD cắt nhau tại B nằm trong mặt phẳng bàn (là mp(BC, BD)).
Do đó AB vuông góc với mặt phẳng bàn.
Dự đoán: gáy sách vuông góc với mặt bàn.
a) (SAB) ⊥ (SBC);
b) (SBC) ⊥ (SCA);
c) (SCA) ⊥ (SAB).
Lời giải:
a) Ta có: SA ⊥ SB, SA ⊥ SC;
SB ∩ SC = S trong (SBC).
Suy ra SA ⊥ (SBC).
Mà SA ⊂ (SAB).
Từ đó ta có (SAB) ⊥ (SBC).
b) Ta có: SA ⊥ (SBC) (theo câu a) và SA ⊂ (SCA) nên (SBC) ⊥ (SCA).
c) Ta có: SB ⊥ SA, SB ⊥ SC;
SA ∩ SC = S trong (SCA).
Suy ra SB ⊥ (SCA).
Mà SB ⊂ (SAB).
Từ đó ta có (SCA) ⊥ (SAB).
Bài tập
Lời giải:
Từ hình ảnh ta thấy hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là (P) và (R), (Q) và (R).
⦁ Hai mặt phẳng (P) và (R) vuông góc với nhau kí hiệu là: (P) ⊥ (R).
⦁ Hai mặt phẳng (Q) và (R) vuông góc với nhau kí hiệu là: (Q) ⊥ (R).
Lời giải:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Ta cần chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).
Thật vậy, ta lấy:
⦁ d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q);
⦁ a là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) sao cho a ⊥ d;
· O là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).
Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa điểm O nên hai mặt phẳng đó cắt nhau theo giao tuyến d đi qua O.
Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ đường thẳng b vuông góc với d.
Như vậy ta có: d là cạnh của góc nhị diện [P, d, Q];
a ⊂ (P) và a ⊥ d tại O (với O ∈ d);
b ⊂ (Q) và b ⊥ d tại O (với O ∈ d);
Suy ra là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [P, d, Q].
Mặt khác (P) ⊥ (Q) nên góc nhị diện [P, d, Q] vuông hay
Suy ra a ⊥ b.
Ta có: a ⊥ d, a ⊥ b và d ∩ b = O trong (Q).
Suy ra a ⊥ (Q).
Vậy nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Bài 3 trang 99 Toán 11 Tập 2: Chứng minh các định lí sau:
a) Nếu hai mặt phẳng (phân biệt) cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau theo một giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó;
b) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai
mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
Lời giải:
a)
Giả sử ta có: (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R), gọi a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R).
Mà (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt nên a và b không trùng nhau.
Hơn nữa: a và b cùng nằm trong (R), nên xảy ra hai trường hợp:
⦁ Nếu a // b, mà a ⊂ (P), b ⊂ (Q) thì suy ra (P) // (Q).
⦁ Nếu a cắt b, mà a ⊂ (P) và b ⊂ (Q), thì ta gọi c = (P) ∩ (Q).
Do (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và c = (P) ∩ (Q) nên suy ra c ⊥ (R).
b)
Giả sử có ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q) và (R) ⊥ (P). Ta cần chứng minh (R) ⊥ (Q).
Gọi a = (P) ∩ (R), lấy d ⊂ (R) sao cho a ⊥ d.
Ta có: (R) ⊥ (P), a = (R) ∩ (P), d ⊂ (R) và a ⊥ d, suy ra d ⊥ (P).
Mà (P) // (Q), d ⊂ (R) nên d ⊥ (Q).
Suy ra (Q) ⊥ (R).
Lời giải:
Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.
Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng (Q):
· Xét trường hợp d cắt (P) tại A.
Lấy M ∈ d sao cho M ≠ A. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).
Suy ra d ∩ a = M.
Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.
Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).
· Xét trường hợp d ⊂ (P) hoặc d // (P).
Lấy M ∈ d. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).
Suy ra d ∩ a = M.
Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.
Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).
Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng (Q):
Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q’) khác (Q) sao cho d ⊂ (Q’) và (P) ⊥ (Q’).
Ta thấy: d = (Q’) ∩ (Q).
Mà (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (Q’) nên suy ra d ⊥ (P).
Mâu thuẫn với giả thiết d không vuông góc với (P).
Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) sao cho d ⊂ (Q) và (P) ⊥ (Q).
a) SM ⊥ (ABCD);
b) AD ⊥ (SAB);
c) (SAD) ⊥ (SBC).
Lời giải:
a) Xét tam giác SAB vuông cân tại S có: SM là đường trung tuyến (do M là trung điểm của AB) nên SM ⊥ AB.
Do A ∈ (SAB) ∩ (ABCD);
B ∈ (SAB) ∩ (ABCD).
Suy ra AB = (SAB) ∩ (ABCD).
Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD);
SM ⊂ (SAB), SM ⊥ AB;
(SAB) ∩ (ABCD) = AB.
Từ đó, ta có SM ⊥ (ABCD).
b) Do SM ⊥ (ABCD) và AD ⊂ (ABCD) nên SM ⊥ AD.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD ⊥ AB.
Ta có: AD ⊥ AB, AD ⊥ SM và AB ∩ SM = M trong (SAB).
Suy ra AD ⊥ (SAB).
c) Do AD ⊥ (SAB) và SB ⊂ (SAB) nên AD ⊥ SB.
Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên SA ⊥ SB.
Ta có: SB ⊥ AD, SB ⊥ SA và AD ∩ SA = A trong (SAD).
Suy ra SB ⊥ (SAD).
Hơn nữa SB ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAD).
a) Chứng minh rằng AA’ ⊥ (ABC).
b) Tính số đo góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
a) Do A ∈ (A’AB) ∩ (A’AC) và A’ ∈ (A’AB) ∩ (A’AC).
Suy ra AA’ = (A’AB) ∩ (A’AC).
Ta có: (A’AB) ⊥ (ABC);
(A’AC) ⊥ (ABC);
(A’AB) ∩ (A’AC) = AA’.
Do đó AA’ ⊥ (ABC).
b) Do AA’ ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu của A’B trên (ABC).
Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng
Vì AA’ ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AA’ ⊥ AB.
Xét tam giác A’AB vuông tại A có:
Vậy góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) bằng 45°.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối
