Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí  A có khoảng cách đến bờ biển $AB=5km.$  Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng $BC=7km.$  Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M vị trí trên bờ biển với vận tốc $4km/h$  rồi đi bộ đến C với vận tốc $6km/h.$  Vị trí điểm M  cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất ? ( xem hình vẽ).

Chọn B

Đặt   $BM=x\Rightarrow MC=BC-BM=7-x$

Tam giác ABM   vuông tại B , có  $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{x^2+25}$

Thời gian đi từ A  đến M là $\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}$ , thời gian đi từ M  đến C  là $\frac{7-x}{6}$ .

Tổng thời gian đi từ  A đến C   là $\frac{\sqrt{x^2+25}}{4} +\frac{7-x}{6}$  .

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+25}}{4}+\frac{7-x}{6}$  trên khoảng $\left(0;7\right)$ , có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{4\sqrt{x^2+25}}-\frac{1}{6}.$

Phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}0<x<7\\ 2\sqrt{x^2+25}=3x\end{array}\right.\iff x=2\sqrt{5}$

$\underset{\left(0;7\right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\sqrt{5}\right).$