Một lớp học có 30 học sinh gồm cả nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nữ và 1 nam là \(\frac{{52}}{{145}}\). Tính số học sinh nữ của lớp.
A. 16.
B. 12.
C. 18.
D. 14.
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố A: “Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.
Ta có số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_{30}^3\).
Gọi x là số học sinh nữ của lớp (x ∈ ℕ*, x < 30).
Suy ra số học sinh nam của lớp là: 30 – x.
Chọn 1 học sinh nam trong 30 – x học sinh nam thì có \(C_{30 - x}^1\) cách.
Chọn 2 học sinh nữ trong x học sinh nữ thì có \(C_x^2\) cách.
Do đó ta có \(n\left( A \right) = C_{30 - x}^1.C_x^2\).
Theo đề, ta có \(P\left( A \right) = \frac{{52}}{{145}}\).
\( \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - x}^1.C_x^2}}{{C_{30}^3}} = \frac{{52}}{{145}}\).
Thay x ở các đáp án vào hệ thức trên, ta thấy x = 14 thỏa mãn.
Vậy lớp đó có 14 học sinh nữ.
Do đó ta chọn phương án D.