Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết rằng, (P) đi qua điểm A(2; 4). Khi đó hãy

Bài 7.60 trang 50 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết rằng, (P) đi qua điểm A(2; 4). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc (P) và cách tiêu điểm của (P) một khoảng bằng 5.

Trả lời

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 2px.

Do (P) đi qua điểm A(2; 4) nên ta có: 4² = 2p.2 ⇔ p = 4 .

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y² = 8x với tiêu điểm F(2; 0).

Ta còn viết phương trình (P) dưới dạng: $x=\frac{y^2}{8}$ .

Ta có:

Do điểm M thuộc (P) nên toạ độ của điểm M có dạng $M\left(\frac{t^2}{8};t\right)$

Từ giả thiết MF = 5 ta suy ra:

MF² = 25

 $\begin{array}{l}\iff {\left(\frac{t^2}{8}-2\right)}^2+t^2=25\\ \iff \frac{t^4}{64}-\frac{t^2}{2}+4+t^2=25\\ \iff \frac{t^4}{64}+\frac{t^2}{2}-21=0(*)\end{array}$

Đặt t² = X (X ≥ 0) ta có:

(*) ⇔ $\frac{X^2}{64}+\frac{X}{2}-21=0\iff \left[\begin{array}{l}X=24\left(TM\right)\\ X=-56\left(L\right)\end{array}\right.$

Với X = 24 ⇔ $t=\pm 2\sqrt{6}$

Vậy có hai điểm M thoả mãn là $M\left(3;\pm 2\sqrt{6}\right)$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton