Cho elip (E) có phương trình là x^2/25 + y^2/9 = 1. Tìm toạ độ các điểm M thuộc (E), biết rằng

Bài 7.59 trang 50 SBT Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ . Tìm toạ độ các điểm M thuộc (E), biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.

Trả lời

Elip  $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có a² = 25, b² = 9, c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$ nên hai tiêu điểm là F₁(–4; 0), F₂(4; 0).

Do M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn (C) tâm O đường kính F₁F₂ = 2.4 = 8 nên bán kính là R = 4.

Phương trình đường tròn (C) là:

x² + y² = 4² hay x² + y² = 16.

Khi đó toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{y}^2=16-x^2\\ \frac{x^2}{25}+\frac{16-x^2}{9}=1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}{y}^2=16-x^2\\ 9x^2+400-25x^2=225\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}{y}^2=16-x^2\\ 16x^2=175\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{y}^2=16-\frac{175}{16}\\ x^2=\frac{175}{16}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{array}\right.$

Vậy ta tìm được bốn điểm M thoả mãn là $M\left(\pm \frac{5\sqrt{7}}{4};\pm \frac{9}{4}\right)$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton