Khối chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $SA=SB=SC=a,$ cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S. ABCD là bao nhiêu?

Gọi I là tâm của hình thoi ABCD, H là hình chiếu của S lên mặt (ABCD).

Ta có $SA=SB=SC$ nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay $H\in BI.$

Ta có: $S{I}^2=S{A}^2-I{A}^2=a^2-I{A}^2,I{B}^2=A{B}^2-I{A}^2=a^2-I{A}^2\Rightarrow SI=IB.$

Khi đó tam giác SBD vuông tại S. Giả sử SD=x. Ta có $SB.SD=SH.BD\iff a.x=SH.BD\iff SH=\frac{a.x}{BD}.$

Ta có: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{3}\frac{a.x}{BD}.\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{6}a.x.AC.$

Ta có: $B{D}^2=S{B}^2+S{D}^2=a^2+x^2\Rightarrow I{B}^2=\frac{a^2+x^2}{4}\Rightarrow I{A}^2=a^2-\frac{a^2+x^2}{4}=\frac{3a^2-x^2}{4}.$

Suy ra $AC=2IA=2\sqrt{\frac{3a^2-x^2}{4}}=\sqrt{3a^2-x^2}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{6}a.x.\sqrt{3a^2-x^2}\le \frac{a}{6}.\frac{x^2+3a^2-x^2}{2}=\frac{a^3}{4}.$