Hàm số( tham số m, n) đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4\left(m^2+n^2\right)-m-n$ bằng

Chọn A

Ta có $y^{\text{'}}=3{\left(x+m\right)}^2+3{\left(x+n\right)}^2-3x^2=3\left[x^2+2\left(m+n\right)x+m^2+n^2\right]$.

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\iff mn\le 0$.

TH1: $mn=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ n=0\end{array}\right.$.

Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m=0.

$\Rightarrow P=4n^2-n=\left(2n-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\left(1\right)$.

TH2: $mn<0\iff m>0;n<0$ (Do vai trò của m,n như nhau).

Ta có $P={\left(2m-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}+4n^2+\left(-n\right)\ge -\frac{1}{16}\left(2\right)$.

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có $P_{\min }=-\frac{1}{16}$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{8};n=0$ hoặc $m=0;n=\frac{1}{8}$.