Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.
a) Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD.
b) Khi CD đi qua A và không vuông góc với MA.
i) Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kính AF của (O’), AF cắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.
ii) Tìm vị trí của CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất.
a)
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AD.
Suy ra OE ⊥ AC và AE = CE; O’F ⊥ AD và AF = DF.
Mà MA ⊥ CD (giả thiết).
Do đó OE // MA // O’F.
Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang.
Hình thang OO’FE có MA // OE // O’F và M là trung điểm của OO’.
Suy ra MA là đường trung bình của hình thang OO’FE.
Do đó AE = AF.
Vì vậy 2AE = 2AF.
Vậy AC = AD (điều phải chứng minh).
b)
i) Gọi I là giao điểm của EG và FH.
Đường tròn (O) có AE là đường kính.
Suy ra AG ⊥ GE và AB ⊥ BE.
Đường tròn (O’) có AF là đường kính.
Suy ra AH ⊥ FH và AB ⊥ BF.
Ta có AB ⊥ BE (chứng minh trên) và AB ⊥ BF (chứng minh trên).
Suy ra ba điểm E, B, F thẳng hàng.
Do đó AB ⊥ EF.
Tam giác IEF có hai đường cao EH và FG cắt nhau tại A.
Suy ra A là trực tâm của tam giác IEF.
Mà AB ⊥ EF (chứng minh trên).
Do đó ba điểm I, A, B thẳng hàng.
Vậy AB, EG, FH đồng quy tại I.
ii) Kẻ OP ⊥ CD và O’Q ⊥ CD.
Suy ra P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD và OP // O’Q.
Khi đó AC = 2AP và AD = 2AQ.
Suy ra AC + AD = 2AP + 2AQ.
Vì vậy CD = 2PQ.
Do đó CD lớn nhất khi và chỉ khi PQ lớn nhất.
Ta có tứ giác OO’QP là hình thang vuông tại P, Q (vì OP // O’Q và OP ⊥ PQ).
Suy ra PQ ≤ OO’.
Dấu “=” xảy ra ⇔ OO’QP là hình chữ nhật.
⇔ PQ // OO’.
⇔ CD // OO’.
Vậy CD // OO’ thì CD có độ dài lớn nhất.