Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=2x^3-2m{x}^2-2(m^2-3)x+1$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1.$ Số phẩn tử của S là

Chọn C

Ta có $y\text{'}=6x^2-4mx-2m^2+6$. Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì

$\Delta \text{'}>0\iff 4m^2-6\left(-2m^2+6\right)>0\iff 16m^2-36>0\iff \left[\begin{array}{l}m<\frac{-3}{2}\\ m>\frac{3}{2}\end{array}\right..$ 

Yêu cầu bài toán hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)=1\left(*\right).$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m}{3}\\ x_1.x_2=\frac{-m^2+3}{3}\end{array}\right.$.

Khi đó

$\begin{array}{l}\left(*\right)\iff \frac{-m^2+3}{3}+2.\frac{2m}{3}=1\\ \iff -m^2+4m=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=4\end{array}\right..\end{array}$

So sánh điều kiện $\left[\begin{array}{l}m<\frac{-3}{2}\\ m>\frac{3}{2}\end{array}\right.$ ta thấy m=4 thỏa mãn.

Vậy có 1 giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.