Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
17
24/07/2024
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình x6 + 3x4 − m3x3 + 4x2 − mx + 2 ≥ 0 đúng với mọi x ∈ [1; 3]. Tính tổng của tất cả các phần tử thuộc S.
Trả lời
Ta có:
x6 + 3x4 − m3x3 + 4x2 − mx + 2 ≥ 0
⇔ x6 + 3x4 + 4x2 + 2 ≥ (mx)3 + mx
⇔ (x6 + 3x4 + 3x2 + 1) + x2 + 1 ≥ (mx)3 + mx
⇔ (x2 + 1).3 + (x2 + 1) ≥ (mx).3 + mx (∗)
Xét hàm số f(t) = t3 + t ta có: f′(t) = 3t2 + 1 > 0 ∀ t ∈ R ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.
Khi đó: (∗) ⇔ x2 + 1 ≥ mx \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\forall x \in \left[ {1;3} \right]\].
Xét hàm số \[g\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\], \[x \in \left[ {1;3} \right]\] có: \[{g^'}\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0\], \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = g\left( 1 \right) = 2\]
Để \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\mathop {\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\limits_{} \] thì \[\mathop {m \le \min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \] ⇔ m ≤ 2
Mà m là số nguyên dương ⇒ m = 1, m = 2 ⇒ S = {1; 2}
Vậy tổng các phần tử của S là 1 + 2 = 3.