Chọn D

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.$.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng <=> phương trình $x^2-6x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $-2\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}={\left(-3\right)}^2-2m>0\\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0\\ \left(x_1+2\right)+\left(x_2+2\right)>0\end{array}\right.$ (1)

với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-6x+m=0$, theo Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=6\\ x_1.x_2=2m\end{array}\right.$, thay vào hệ (1) ta được

$\left\{\begin{array}{l}m<\frac{9}{2}\\ 2m+16>0\\ 10>0\end{array}\right.\iff -8<m<\frac{9}{2}$,

vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có 12 phần tử thỏa mãn là $\left\{-7;-6;\mathrm{...};3;4\right\}$.