Gọi S  là tập giá trị m là các số nguyên để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\left(m+1\right)x^2+\left(m-2\right)x+2m-3$  đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$  thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=18.$  Tính tổng P   của các giá trị nguyên của

Chọn A

Ta có $y^{\text{'}}=x^2-2\left(m+1\right)x+m-2.$

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$  khi  $y^{\text{'}}=0$có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

$\iff x^2-2\left(m+1\right)x+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt.

 $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m^2+m+3>0$ ( luôn đúng với mọi m  )

Do đó, với mọi m  thì hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_1,x_2$ .

Theo định lý vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+2\\ x_1.x_2=m-2\end{array}\right..$

Theo giả thiết :

$x_1^2+x_2^2=18\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-18=0\iff 4m^2+6m-10=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$.

Mà $m\in Z\Rightarrow m=1.$