Gọi F( x ) là nguyên hàm của hàm số f( x ) = sin 2xtan x thỏa mãn F( pi /3 ) = căn bậc hai của 3 /4. Giá trị của F( pi /4) là: A. căn bậc hai của 3 - 1/2 + pi /12 B. căn bậc hai của 3 + 1
46
19/04/2024
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\] thỏa mãn \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] là:
A. \[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]
B. \[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]
C. \[\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} + \frac{\pi }{{12}}\]
D. \[\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\]
Trả lời
Hướng dẫn giải
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\sin 2x.\tan xdx} = \int {2\sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = 2\int {{{\sin }^2}xdx} \].
Suy ra \[F\left( x \right) = \int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\].
Theo giả thiết, ta có: \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - \frac{1}{2}\sin \frac{{2\pi }}{3} + C = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].
Vậy \[F\left( x \right) = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].
Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\].
Chọn D.
