Cho F( x ) = ( x - 1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f( x )e^2x. Biết rằng hàm số f( x ) có đạo hàm liên tục trên R. Nguyên hàm của hàm số f'( x )e^2x là: A. ( 2 - x )e^x + C B. ( 2 + x)
12
19/04/2024
Cho \[F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right){e^{2x}}\]. Biết rằng hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right){e^{2x}}\] là:
A. \[\left( {2 - x} \right){e^x} + C\]
B. \[\left( {2 + x} \right){e^x} + C\]
C. \[\left( {1 - x} \right){e^x} + C\]
D. \[\left( {1 + x} \right){e^x} + C\]
Trả lời
Hướng dẫn giải
Ta có \[F'\left( x \right) = f\left( x \right){e^{2x}} \Leftrightarrow {e^x} + \left( {x - 1} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^{2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{e^{2x}} = x.{e^x}\].
Xét \[\int {f'\left( x \right){e^{2x}}dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{2x}}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2{e^{2x}}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\]
Do đó \[I = f\left( x \right).{e^{2x}} - 2\int {f\left( x \right){e^x}dx} = x{e^x} - 2\left( {x - 1} \right){e^x} + C\]
Vậy \[I = \int {f'\left( x \right){e^{2x}}dx} = \left( {2 - x} \right){e^x} + C\]
Chọn A.
