Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}$, với $x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và thỏa mãn $F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}$. Giá trị của $F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)$ là:

Hướng dẫn giải

Ta thấy: $\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}} = {\cos ^3}x\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x + {\cos ^3}x.\sin x\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right)} - \int {{{\cos }^3}xd\left( {\cos x} \right)} = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\end{array}$

Theo giả thiết, ta có $F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}$ nên $C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C$

Do đó $F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{3}$.

Chọn D.