Gọi F( x ) là nguyên hàm của hàm số f( x ) = cos ^42x thỏa mãn F( 0 ) = 2019. Giá trị của F( pi /8t) là: A. 3pi + 16153/64 B. 3pi + 129224/8 C. 3pi + 129224/64 D. 3pi - 129224/32
43
19/04/2024
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\cos ^4}2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2019\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right)\] là:
A. \[\frac{{3\pi + 16153}}{{64}}\]
B. \[\frac{{3\pi + 129224}}{8}\]
C. \[\frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]
D. \[\frac{{3\pi - 129224}}{{32}}\]
Trả lời
Hướng dẫn giải
Ta có: \[\begin{array}{l}{\cos ^4}2x = {\left( {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right) = \frac{1}{8}\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)\end{array}\]
Do đó \[F\left( x \right) = \frac{1}{8}\int {\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)dx} = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\]
Mà \[F\left( 0 \right) = 2019\] nên ta có \[C = 2019\].
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + 2019\].
Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]
Chọn C.
