(Giải thích nghịch lí Zeno) Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km)

Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t₁, t₂, ..., t_n, ... tương ứng để Achilles đi từ A₁ đến A₂, từ A₂ đến A₃, ... từ A_n đến A_{n + 1}, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A­_nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Trả lời

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ A₁ đến A₂ với A₁A₂ = a = 100 (km), Achilles phải mất thời gian $t_1=\frac{100}{100}=1$(h). Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₂A₃ = 1 (km).

Để chạy hết quãng đường từ A₂ đến A₃ với A₂A₃ = 1 (km), Achilles phải mất thời gian $t_2=\frac{1}{100}$(h). Với thời gian t₂ này, rùa đã chạy được quãng đường A₃A₄ = $\frac{1}{100}$ (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ A_n đến A_{n + 1} với A_nA_{n + 1} = $\frac{1}{{100}^{n-2}}$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_n=\frac{1}{{100}^{n-1}}$(h). ...

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A₁A₂, A₂A₃, ..., A­_nA_{n + 1}, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{{100}^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{100}^{n-1}}+\frac{1}{{100}^n}+\mathrm{...}$ (h).

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1, công bội , nên ta có

$T=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1\frac{1}{99}$ (h).

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 14: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối Chương 5