Giải phương trình: \[{x^2} + 6x + 1 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} \].

Điều kiện: x² + 2x + 3 ≥ 0

\[{x^2} + 6x + 1 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} \]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 + 4x + 2 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} \]

Đặt \[a = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \]; b = 2x +1, phương trình trở thành:

a² + 2b = ab + 4

⇔ a² − 4− ab + 2b = 0

⇔ (a − 2)(a + 2) − b(a − 2) = 0

⇔ (a − 2)(a – b + 2) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a - b = - 2}\end{array}} \right.\].

• Với a = 2 \[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2\]

Û x² + 2x – 1 = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 - 1\,\,(tm)}\\{x = - \sqrt 2 - 1\,\,(tm)}\end{array}} \right.\]

• Với a – b = −2 \[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} - (2x + 1) = - 2\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2x - 1\]

⇔ x² + 2x+ 3 = 4x² − 4x + 1

⇔3x² − 6x − 2 =0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {15} }}{3}\,\,(TM)}\\{x = \frac{{3 - \sqrt {15} }}{3}\,\,(TM)}\end{array}} \right.\]

Vậy tập hợp giá trị x thỏa mãn là: \[S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 2 ;\,\,\frac{{3 \pm \sqrt {15} }}{3}} \right\}\].