Giải phương trình nghiệm nguyên 12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y).

12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

3y² + 2y(3x – 14) + 12x² – 28 = 0 (1)

Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi ∆’ là số chính phương

Ta có: ∆’ = (3x – 14)² – 3(12x² – 28x) = –27x² + 196 (2)

–27x² + 196 = k²

Ta có k² ≥ 0; 27x² ≤ 196; x² ≤ 7.

Mà x là số thực nên x ∈ {0; ±1; ±2}.

Lần lượt thử các giá trị của x vào (2) ta có:

Với x = 0 thì ∆ = 196 = 142 (thỏa mãn) nên khi đó phương trình (1) trở thành 3y² – 28y = 0

• Với x = ±1 thì ∆’ = 169 = 132 (thỏa mãn) nên khi đó

x = 1, phương trình (1) trở thành 3y² – 22y – 16 =0

\(\left[ \begin{array}{l}y = 8(tm)\\y = \frac{{ - 2}}{3}(ktm)\end{array} \right.\)

• Với x = −1, phương trình (1) trở thành 3y² – 34y + 40 = 0

\(\left[ \begin{array}{l}y = 10(tm)\\y = \frac{4}{3}(ktm)\end{array} \right.\)

• Với x = ± 2 thì ∆ = 88 (không thỏa mãn) nên khi đó không cho y là số nguyên.

Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) thỏa mãn là {(0; 0), (1; 8), (−1; 10)}.