Giải các bất phương trình sau: log3 của (x + 4) < 2; log1/2 của x >= 4; log0,25 của (x - 1) <= -1; log5 của (x^2 - 24x) >= 2

Bài 4 trang 22 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) log₃ (x + 4) < 2;

b) ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4$;

c) ${\log }_{0,25}(x-1)\le -1$;

d) ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$;

e) $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$;

g) $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$.

Trả lời

a) Điều kiện: x > –4

Ta có: log₃ (x + 4) < 2 ⇔ x + 4 < 9 ⇔ x < 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (–4; 5).

b) Điều kiện: x > 0

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{2}}x\ge 4\iff x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\iff x\le \frac{1}{16}$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(0;\frac{1}{16}\right]$.

c) Điều kiện: x > 1

Ta có: log_0,25 (x - 1) ≤ -1

⇔ x - 1 ≥ (0,25)^-1 (do 0 < 0, 5 < 1)

⇔ x - 1 ≥ 4

⇔ x ≥ 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left[5; +\infty \right)$.

d) Điều kiện: $x^2-24x>0\iff \left[\begin{array}{l}x<0\\ x>24\end{array}\right.$

Ta có: ${\log }_5(x^2-24x)\ge 2$

⇔ x² - 24x ≥ 25

⇔ x² - 24x - 25 ≥ 0 (Do 5 > 1)

⇔ $\left[\begin{array}{l}x\le -1\\ x\ge 25\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[25;+\infty \right)$.

e) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 3x+7>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{-7}{3}\end{array}\right.\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_{\frac{1}{4}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$${\log }_{\frac{1}{4}}{(x+1)}^2\ge {\log }_{\frac{1}{4}}(3x+7)$

⇔ x² + 2x + 1 ≤ 3x + 7 (do cơ số $0<\frac{1}{2}<1$)

⇔ x² - x - 6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (−1; 3].

g) Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+7>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-1\\ x>-7\end{array}\right.\Rightarrow x>-1$

Ta có: $2{\log }_3(x+1)\le 1+{\log }_3(x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_{3}3+{\log }_3(x+7)$

⇔ ${\log }_3{(x+1)}^2\le {\log }_3\left(3(x+7)\right)$

⇔ ${(x+1)}^2\le 3x+21$ (do cơ số 2 > 1)

⇔ (x + 1)² ≤ 3x + 21

⇔ x² + 2x + 1 ≤ 3x + 21

⇔ x² - x - 20 ≤ 0

⇔ -4 ≤ x ≤ 5

Kết hợp điều kiện, vậy tập nghiệm của phương trình là: S = (–1; 5].

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: