Giải SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Phép tính lôgarit

Sách bài tập Toán 11 Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 1 trang 12 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_9\frac{1}{81}$;

b) log 10 000;

c) log 0,001;

d) log_0,7 1;

e) ${\log }_5\sqrt[4]{5}$;

g) log_0,5 0,125.

Lời giải:

a) ${\log }_9\frac{1}{81}=lo{g}_9{\left(9\right)}^{-2}$ = -2;

b) log 10 000 = log 10⁴ = 4;

c) log 0,001 = log(10)^– 3 = – 3;

d) log_0,7 1 = 0;

e) $lo{g}_5\sqrt[4]{5}={\log }_{{}_5}{\left(5\right)}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$;

g) log_0,5 0,125 = log_0,5 0,5³ = 3.

Bài 2 trang 12 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3^{{\log }_{3}5}$;

b) e^{ln 3};

c) $7^{2{\log }_{7}8}$;

d) $2^{lo{g}_{2}3+{\log }_{2}5}$;

e) $4^{lo{g}_2\frac{1}{5}}$;

g) 0,001^log2.

Lời giải:

a) $3^{{\log }_{3}5}$ = 5;

b) e^{ln 3} = 3;

c) $7^{2{\log }_{7}8}={\left[7^{lo{g}_{7}8}\right]}^2$ = 8² = 64;

d) $2^{lo{g}_{2}3+{\log }_{2}5}=2^{lo{g}_{2}3}{.2}^{{\log }_{2}5}$ = 3.5 = 15;

e) $4^{lo{g}_2\left(\frac{1}{5}\right)}={\left(2^2\right)}^{lo{g}_2\left(\frac{1}{5}\right)}$

= ${\left[2^{lo{g}_2\frac{1}{5}}\right]}^2={\left[\frac{1}{5}\right]}^2=\frac{1}{25}$.

g) 0,001^{log 2} = ${\left({10}^{-3}\right)}^{log2}$ = ${\left({10}^{log2}\right)}^{-3}$= 2³ = $\frac{1}{8}$.

Bài 3 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_3\frac{9}{10}+{\log }_{3}30$;

b) log₅ 75 + log₅ 3;

c) ${\log }_3\frac{5}{9}-2{\log }_3\sqrt{5}$;

d) 4log₁₂ 2 + 2log₁₂ 3;

e) $2{\log }_{5}2-{\log }_{5}4\sqrt{10}+{\log }_5\sqrt{2}$;

g) ${\log }_3\sqrt{3}-{\log }_3\sqrt[3]{9}+2{\log }_3\sqrt[4]{27}$.

Lời giải:

a) ${\log }_3\frac{9}{10}+{\log }_{3}30={\log }_3\left(\frac{9}{10}.30\right)={\log }_3{3}^3=3$;

b) ${\log }_{5}75-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{75}{3}={\log }_{5}25={\log }_5{5}^2=2$;

c) ${\log }_3\frac{5}{9}-2{\log }_3\sqrt{5}={\log }_3\frac{5}{9}-{\log }_3{\left(\sqrt{5}\right)}^2$

= ${\log }_3\frac{5}{9}-{\log }_{3}5={\log }_3\left(\frac{5}{9}:5\right)={\log }_3{3}^{-2}=-2$;

d) $4{\log }_{12}2+2{\log }_{12}3={\log }_{12}{2}^4+{\log }_{12}{3}^2$

= ${\log }_{12}\left(2^4{.3}^3\right)={\log }_{12}{\left(4.3\right)}^2={\log }_{12}{12}^2=2$;

e) $2{\log }_{5}2-{\log }_{5}4\sqrt{10}+{\log }_5\sqrt{2}$

= ${\log }_5{2}^2-{\log }_{5}4\sqrt{10}+{\log }_5\sqrt{2}$

= ${\log }_{5}4-{\log }_{5}4\sqrt{10}+{\log }_5\sqrt{2}$

= ${\log }_5\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{10}}={\log }_5\frac{1}{\sqrt{5}}={\log }_5{5}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$;

g) ${\log }_3\sqrt{3}-{\log }_3\sqrt[3]{9}+2{\log }_3\sqrt[4]{27}$

= ${\log }_3{3}^{\frac{1}{2}}-{\log }_3{3}^{\frac{2}{3}}+2{\log }_3{3}^{\frac{3}{4}}$

= $\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+2.\frac{3}{4}=\frac{4}{3}$.

Bài 4 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\log }_8\frac{1}{32}$;

b) log₅ 3 . log₃ 5;

c) $2^{\frac{1}{{\log }_{5}2}}$;

d) log₂₇ 25 . log₅ 81.

Lời giải:

a) ${\log }_8\frac{1}{32}=\frac{{\log }_2\frac{1}{32}}{{\log }_{2}8}=\frac{{\log }_2{2}^{-5}}{{\log }_2{2}^3}=-\frac{5}{3}$;

b) ${\log }_{5}3.{\log }_{3}5={\log }_{5}3\frac{1}{{\log }_{5}3}=1$;

c) $2^{\frac{1}{{\log }_{5}2}}=2^{lo{g}_{2}5}=5$;

d) ${\log }_{27}25.{\log }_{5}81=\frac{{\log }_{3}25}{{\log }_{3}27}\cdot \frac{{\log }_{3}81}{{\log }_{3}5}$

= $\frac{{\log }_3{5}^2}{{\log }_3{3}^3}\cdot \frac{{\log }_3{3}^4}{{\log }_{3}5}=\frac{2{\log }_{3}5}{3}\cdot \frac{4}{{\log }_{3}5}=\frac{8}{3}$.

Bài 5 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Tính:

a) log₃ 5. log₅ 7 .log₇ 9;

b) ${\log }_2\frac{1}{25}.{\log }_3\frac{1}{32}.{\log }_5\frac{1}{27}$.

Lời giải:

a) log₃ 5. log₅ 7 .log₇ 9;

= ${\log }_{3}5.\frac{{\log }_{3}7}{{\log }_{3}5}.\frac{{\log }_{3}9}{{\log }_{3}7}$

= $lo{g}_3{3}^2=2$.

b) ${\log }_2\frac{1}{25}.{\log }_3\frac{1}{32}.{\log }_5\frac{1}{27}={\log }_2{5}^{-2}.{\log }_3{2}^{-5}.{\log }_5{3}^{-3}$

⇔ (–2) log₂ 5. (–5)log₃ 2. (–3) . (–3) log₅ 3

⇔ –30 log₂ 5 . log₂ 3 . log₅ 3 log₇ 21

⇔ $-30{\log }_{2}5.\frac{{\log }_{2}2}{{\log }_{2}3}.\frac{{\log }_{2}3}{{\log }_{2}5}=-30$.

Bài 6 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Sử dụng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) log₇ 21;

b) log 2,25;

c) $\log \sqrt{14}$;

d) log_0,5 3 + log₅ 0,3.

Lời giải:

a) log₇ 21 = 1,5646;

Ta nhập máy tính: 

Ta được kết quả:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư 1,5646.

b) log 2,25 = 0,3522;

Ta nhập máy tính: 

Ta được kết quả:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư 0,3522.

c) $\log \sqrt{14}$ =1,3195;

Ta nhập máy tính: 

Ta được kết quả:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư 1,3195.

d) log_0,5 3 + log₅ 0,3 = –2,333.

Ta nhập máy tính:

Ta được kết quả:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư – 2,333.

Bài 7 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Đặt log₂ 3 = a, log₂ 5 = b. Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a và b.

a) log_­2 45;

b) ${\log }_2\frac{\sqrt{15}}{6}$;

c) log₃ 20.

Lời giải:

a) log_­2 45 = log₂ 3².5

= 2log₂ 3 + log₂ 5 = 2a + b;

b) ${\log }_2\frac{\sqrt{15}}{6}={\log }_2\sqrt{15}-{\log }_{2}6$ = $\frac{1}{2}{\log }_{2}15-{\log }_2(2.3)$

= $\frac{1}{2}{\log }_2(3.5)-({\log }_{2}2+{\log }_{2}3)$ = $\frac{1}{2}({\log }_{2}3+{\log }_{2}5)-(1+{\log }_{2}3)$

= $\frac{1}{2}(a+b)-(1+a)=-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1$;

c) ${\log }_{3}20=\frac{{\log }_{3}20}{{\log }_{2}3}=\frac{{\log }_2(2^2.5)}{{\log }_{3}3}$

= $\frac{2{\log }_{2}2+{\log }_{2}5}{{\log }_{2}3}=\frac{2+b}{a}$.

Bài 8 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Đặt log x = a, log y = b, log z = c (x, y, z > 0). Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a, b, c.

a) log (xyz);

b) $\log \frac{x^3\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}}$;

c) log_z (xy²) z ≠ 1.

Lời giải:

a) log(xyz) = log x + log y + log z = a + b + c;

b) $\log \frac{x^3\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}}=\log \left(x^3\sqrt[3]{y}\right)-\log \left(100\sqrt{z}\right)$

= $\log \left(x^3{y}^{\frac{1}{3}}\right)-\log \left({10}^2{z}^{\frac{1}{2}}\right)$

= $3\log x+\frac{1}{3}\log y-2-\frac{1}{2}\log z$

= $3a+\frac{1}{3}b-\frac{1}{2}c-2$;

c) ${\log }_z\left(x{y}^2\right)=\frac{\log \left(x{y}^2\right)}{\log z}$

= $\frac{\log xy+2\log }{\log z}=\frac{a+2b}{c}$.

Bài 9 trang 13 SBT Toán 11 Tập 2: Đặt log₂ 3 = a, log₃ 15 = b. Biểu thị log₃₀18 theo a và b.

Lời giải: