Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).
Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.
Do H là trung điểm của AM nên \(HM = \frac{1}{2}AM\).
Ta có diện tích tam giác ABC bằng: \(\frac{1}{2}.AM.BC = HM.BC\).
Xét ∆BCH và ∆CBD có:
BH = CD, BD = HC (do BDCH là hình bình hành), cạnh BC chung
Do đó ∆BCH = ∆CBD (c.c.c)
Suy ra S∆BCH = S∆CBD
Nên diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.
Khi đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: \(2\left( {\frac{1}{2}.HM.BC} \right) = HM.BC\).
Vậy diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.