Đồ thị hàm số $y=x^3-2m{x}^2+m^{2}x+n$  có tọa độ điểm cực tiểu là $\left(1;3\right)$ . Khi đó $m+n$  bằng

Chọn B

Ta có $y\text{'}=3x^2-4mx+m^2;y\text{'}\text{'}=6x-4m$  .

Theo giả thiết ta suy ra: $y\text{'}\left(1\right)=0\iff m^2-4m+3=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}\right.$  .

Khi  $m=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(1\right)=2>0\end{array}\right.\Rightarrow x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số thỏa mãn.

Lúc đó $y\left(1\right)={\left(m-1\right)}^2+n=0^2+n=n\Rightarrow n=3$ .

Vậy trong trường hợp này $\Rightarrow m+n=4$

Khi $m=3\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y\text{'}\left(1\right)=0\\ y\text{'}\text{'}\left(1\right)=-9<0\end{array}\right.\Rightarrow x=1$  là điểm cực đại của hàm số nên loại.