Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và C lên DE.

a) Chứng minh EH = DK.

b) Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác BCKH là hình gì?

a) Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE.

DBEC có O là trung điểm DE nên OE là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Þ OE = OB = OC \[\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\].

Chứng minh tương tự, ta có OD = OB = OC \[\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\]

Þ OE = OD Þ D ODE cân tại O

DODE cân tại O có OI là trung tuyến (I là trung điểm DE) nên OI cũng là đường cao

Þ OI ^ ED hay OI ^ HK

Mà BH ^ HK, CK ^ HK

Þ OI // BH // CK Þ BCHK là hình thang

Dễ chứng minh I là trung điểm HK Þ IH = IK

Có IE + EH = IH, ID + DK = IK, mà IH = IK, IE = ID

Þ EH = DK (đpcm)

b) DABC cân tại A Þ \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB} \Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB\] (cạnh huyền - góc nhọn)

Þ BE = CD. Mà AB = AC Þ \[\frac{{BE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{AC}}\]. Theo định lý Ta - lét:

DE // BC

Þ HK // BC mà CK // BH (vì cùng vuông góc với DE)

Þ Tứ giác BCKH là hình bình hành có: \[\widehat {BHK}\]vuông Þ BCKH là hình chữ nhật (đpcm)