Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3, 4, 5 và chữ số 4 đứng cạnh chữ số 3 và chữ số 5?

Gọi số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng: $\overline{\text{abc}\mathrm{deg}}.$

Sắp xếp cụm số 3, 4, 5 mà số 4 luôn đứng cạnh 3 và 5 thì ta có 2 cách sắp xếp: 345 và 543.

TH1: Nếu các cụm số 3, 4, 5 đứng đầu có các số tạo thành là: $\mathrm{2.7.6.5}=420$(số)

TH2: Nếu các cụm số 3,4,5 không đứng đầu có 3 cách sắp xếp là: x345xx; xx345x; xxx345.

Khi đó 3 chữ số còn lại có: $\mathrm{6.6.5}=180$cách chọn và sắp xếp.

Do đó ta có được các số tạo thành là: $\mathrm{2.3.180}=1080$ (số)

Áp dụng quy tắc cộng có: $420+1080=1500$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.