Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn

$x\left(2^{xy}+{\log }_2\left(xy\right)\right)=x{y}^4+15xy-30+10y$?

Đáp án đúng là: A

Đầu tiên ta có phương trình sau: $x\left(2^{xy}+{\log }_2\left(xy\right)\right)=x{y}^4+15xy-30+10y$(*)

$\iff 2^{xy}+{\log }_2\left(xy\right)=y^4+15y-\frac{30-10y}{x}\iff 2^{xy}+{\log }_2\left(xy\right)+\frac{30}{x}-\frac{10y}{x}=y^4+15y$ (1)

Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến y luôn đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ ($f^{\text{'}}\left(y\right)=4y^3+15>0$ $\forall y\in \left(0;+\infty \right)$).

Tiếp theo ta khảo sát hàm số $g\left(x\right)=2^{xy}+{\log }_2\left(xy\right)+\frac{30}{x}-\frac{10y}{x}$ trên $\left(1;+\infty \right)$.

Ta có:$g^{\text{'}}\left(x\right)=y{2}^{xy}\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}-\frac{30}{x^2}+\frac{10y}{x^2}$.

Thế $y=3$ vào ta có $g^{\text{'}}\left(3\right)=8^{x+1}\ln 2-\frac{1}{x\ln 2}>64\ln 2-\frac{1}{\ln 2}>\mathrm{0,}\forall x>1$.

Suy ra $\forall y\ge 3$ thì $g^{\text{'}}\left(x\right)>0$, kéo theo đó ta có được:

$\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)>g\left(1\right)=2^y+{\log }_2\left(y\right)-10y+30\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty \end{array}\right.$.

Khi ấy để (*)có nghiệm$\forall x>1$ thì cần có:

$2^{xy}+{\log }_2\left(xy\right)+\frac{30}{x}-\frac{10y}{x}>2^y+{\log }_2\left(y\right)-10y+30$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $2^y+{\log }_2\left(y\right)-10y+30<y^4+15y$

$\iff 2^y+{\log }_2\left(y\right)-25y+30-y^4<\mathrm{0,}\forall y\ge 3$ (3)

Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE)$y\approx \mathrm{16,01}$ (**), khi đó ta có ý tưởng sau:

Giả sử đảo chiều (3), ta có: $2^y+{\log }_2\left(y\right)-10y+30>y^4+15y$ 

$\iff 2^y+{\log }_2\left(y\right)-25y+30-y^4>0$ (4).

Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y\ge 17$.

Xét hàm số $h\left(y\right)=2^y+{\log }_2\left(y\right)-25y+30-y^4$ có $h\left(16\right)=-366<0;h\left(17\right)>0$ nên suy ra $h\left(y\right)<\mathrm{0,}\forall y<17$ tức $h\left(y\right)>\mathrm{0,}\forall y\ge 17$.

Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y\ge 17$ tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi $3\le y\le 17$.

Do (**) nên ta thử từng giá trị $y:3\to 17$ theo thứ tự từ lớn xuống.

Nhận thấy y = 17 không thỏa nên $3\le y<17$

Mà đề cho $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là $y\in \left\{1;2\right\}$, nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra $1\le y<17$ tức $y\in \left\{1;2;\mathrm{...};15;16\right\}$. Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên y thỏa mãn đề bài.