Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y = 1/3cos^3x-4cotx-(m 1)cosx

Đề bài: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $\text{y = }\frac{\text{1}}{\text{3}}{\text{cos}}^{\text{3}}\text{x - 4cotx - }\left(\text{m + 1}\right)\text{ cosx}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\pi \right)$ ?

A. 5

B. 2

C. Vô số

D. 3

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$y\text{'}=-{\cos }^{2}x.\mathrm{s}\text{inx}+\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}}+\left(m+1\right).\mathrm{s}\text{inx}=\mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x + }\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}}+m.\mathrm{s}\text{inx}$

- Hàm số đồng biến trến $\left(0;\pi \right)$  khi và chỉ khi $y\text{'}\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;\pi \right)$

$$\begin{gathered} \iff \mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x + }\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}}+m.\mathrm{s}\text{inx}\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;\pi \right) \\ \iff \mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x+}\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x}}\ge -m,\forall x\in \left(0;\pi \right)\left(1\right) \end{gathered}$$

- Xét hàm số: $g\left(x\right)=\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x +}\frac{4}{\mathrm{s}{\text{in}}^3\text{x}}$ trên $\left(0;\pi \right)$

Có $g\text{'}\left(x\right)=2\sin x.\cos x-\frac{12\cos x}{{\sin }^{4}x}$

$$\begin{gathered} =2\cos x.\left(\sin x-\frac{6}{{\sin }^{4}x}\right)=2\cos x.\frac{{\sin }^{5}x-6}{{\sin }^{4}x} \\ \Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\frac{\pi }{2}\in \left(0;\pi \right) \end{gathered}$$

Bảng biến thiên

- Do đó : $\left(1\right)\iff -m\le \underset{x\in \left(0;\pi \right)}{\min }g\left(x\right)\iff -m\le 5$

$\iff m\ge -5$

- Lại do m nguyên âm nên $m\in \left\{-5;-4;-3;-2;-1\right\}$

Vậy có 5 số nguyên âm.