Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = \(\left| {{x^4} - 2m{x^2} + 64x} \right|\)có đúng ba điểm cực trị?

Xét hàm số y = x⁴ – 2mx² + 64x

y' = 4x³ – 4mx + 64 (*)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^3} - 2mx + 64 = 0\,\,\,(1)\end{array} \right.\)

Phương trình (1) luôn có một nghiệm x₁ = 0 nên đồ thị hàm số y = x⁴ – 2mx² + 64x cắt Ox ít nhất tại 2 điểm và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{x^4}--{\rm{ }}2m{x^2} + {\rm{ }}64x} \right) = + \infty \)

Suy ra để hàm số y = \(\left| {{x^4} - 2m{x^2} + 64x} \right|\) có 3 điểm cực trị thì phương trình (*) có đúng một nghiệm đơn

m = \({x^2} + \frac{{16}}{x}\)có đúng một nghiệm đơn

Xét hàm số f(x) = \({x^2} + \frac{{16}}{x}\)

f'(x) =\(2x - \frac{{16}}{{{x^2}}}\)

f'(x) =\(2x - \frac{{16}}{{{x^2}}}\)= 0 ⇔ x = 2

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: m ≤ 12

Vì m là số nguyên dương nên m ∈ {1;2;3;...;11;12}.

Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m.