Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-10;10\right]$ để hàm số $y=\frac{1}{3}\left(m^2-2m\right)x^3+m{x}^2+3x$ đồng biến trên R?

Chọn D

Hàm số có tập xác định là R.

Ta có: $y^{\text{'}}=\left(m^2-2m\right)x^2+2mx+3$.

Hàm số đã cho đồng biến trên R$\iff y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in ℝ\iff \left(m^2-2m\right)x^2+2mx+3\ge 0,\forall x\in ℝ\left(*\right)$

+ Trường hợp 1: $m^2-2m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.$.

Với m=0: $\left(*\right)\iff 3\ge 0,\forall x\in ℝ\Rightarrow m=0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $m=2$: $\left(*\right)\iff 4x+3\ge 0,\forall x\in ℝ\iff x\ge -\frac{4}{3},\forall x\in ℝ\Rightarrow m=2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2: $m^2-2m\ne 0\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$, khi đó:

$\left(*\right)\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m>0\\ -2m^2+6m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<0\\ m>2\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge 3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m<0\\ m\ge 3\end{array}\right.$.

Từ hai trường hợp trên ta có: $\left[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge 3\end{array}\right.$.

Vậy có 19 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-10;10\right]$ thỏa yêu cầu bài toán là: $-10;-9;\mathrm{...0};3;4;\mathrm{...};10$.