Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=x^3-3x^2+2mx-1$  có 2 cực trị $x_1,x_2$  thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|=2$  ?

Chọn A

Ta có hàm số $y=x^3-3x^2+2mx-1\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6x+2m$

Hàm số $y=x^3-3x^2+2mx-1$  có 2 cực trị $x_1,x_2$  khi và chỉ khi phương trình  $3x^2-6x+2m=0$có hai nghiệm phân biệt               $x_1,x_2\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff 9-6m>0\iff m<\frac{3}{2}$.

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình $3x^2-6x+2m=0$  .

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=\frac{2m}{3}\end{array}\right.$ . 

Mà theo đề ta lại có $\left|x_1-x_2\right|=2\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=4\Rightarrow 4-\frac{8m}{3}=4\iff m=0$  thỏa điều kiện $\left(*\right)$  .

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m  thỏa yêu cầu bài toán.