Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số  $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+9x+1$ đồng biến trên R ?

Tập xác định: D=R.

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2+2mx+9$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $R\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\text{ ,}\forall x\in ℝ$ (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) $\iff x^2+2mx+9\ge 0\text{ ,}\forall x\in ℝ$.

$\iff {\Delta }^{\text{'}}=m^2-9\le 0\text{ ( do }a=1>0\text{)⇔}\iff -3\le m\le 3$ $m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên 

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.