Chọn D

Xét hàm $f\left(x\right)=x^3-3x^2+m$ trên đoạn [1;3].

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

+ TH1: $m-4>0\iff m>4$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|=m$.

Khi đó $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|\le 3\iff m\le 3$ (Loại).

+ TH2: $m<0\iff m<0$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|=4-m$.

Khi đó $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|\le 3\iff 4-m\le 3\iff m\ge 1$ (Loại).

+ TH3: $\left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m-4\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le 4\end{array}\right.\iff 0\le m\le 4$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|=\max \left\{4-m;m\right\}$.

Khi đó $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|\le 3\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}4-m\le 3\\ 4-m\ge m\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge 4-m\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}1\le m\le 2\\ 2\le m\le 3\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện và $m\in \mathbb{Z}$ ta suy ra có 3 giá trị nguyên tham số m là $m\in \left\{1;2;3\right\}$.