Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SO và cắt SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I, M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác (MNPQ) và một đáy nằm trên mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng

Chọn D

Ta có $OC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Do (MNPQ) song song với mặt đáy nên $\frac{IP}{OC}=\frac{SI}{SO}\iff \frac{IP}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{SI}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\iff IP=SI$.

$\Rightarrow IO=SO-OI=\frac{a\sqrt{2}}{2}-IP$.

Khi đó ta có thể tích khối trụ là $V=IO.\pi .I{P}^2=\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-IP\right)I{P}^2$

Cách 1:

Đặt x = IP với $0<x<\frac{a\sqrt{2}}{2}$, khi đó:

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-x\right)x^2$ với $0<x<\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=xa\sqrt{2}-3x^2=0\iff \left[\begin{array}{cc}x=0& \left(l\right)\\ x=\frac{a\sqrt{2}}{3}& \left(n\right)\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{x\in \left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{a^3\sqrt{2}}{27}\Rightarrow V_{\max }=\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{27}$

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:

$V=\frac{1}{2}\pi \left(a\sqrt{2}-2IP\right)IP.IP\le \frac{1}{2}\pi \frac{{\left(a\sqrt{2}-2IP+IP+IP\right)}^3}{27}=\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{27}$.

Đẳng thức xảy ra $\iff a\sqrt{2}-2IP=IP\iff IP=\frac{a\sqrt{2}}{3}$