Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng
160
08/09/2023
Bài 2.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Trả lời
Đáp án đúng là: D
Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u1; u2; u3; u4; u5 và công bội của cấp số nhân là q.
+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.
+ Nếu q = 1 thì u1 = u2 = u3 = u4 = u5, do đó u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 5u1 = 31.
Suy ra u1 = u2 = u3 = u4 = u5 = . Khi đó u1 . u2 . u3 . u4 . u5 = . Vô lí.
Vậy q ≠ 1.
+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u2 = u1q; u3 = u1q2; u4 = u1q3; u5 = u1q4.
Ta có u1 . u2 . u3 . u4 . u5 = = 1 024 = 45. Suy ra u1q2 = 4.
Suy ra .
Lại có u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = S5 = .
Suy ra 4(1 – q5) = 31q2(1 – q)
⇔ 4(1 – q)(1 + q + q2 + q3 + q4) – 31q2(1 – q) = 0
⇔ (1 – q) (4 + 4q + 4q2 + 4q3 + 4q4 – 31q2) = 0
⇔ (1 – q)(4q4 + 4q3 – 27q2 + 4q + 4) = 0
Vì q ≠ 1 nên ta loại trường hợp q = 1.
Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho q2 (do q ≠ 0) ta được
(**)
Đặt , khi đó (**) ⇔ t2 + 2t – 35 = 0 ⇔ t = – 7 hoặc t = 5.
+ Với t = – 7, ta có
+ Với t = 5, ta có
Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).
Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 6: Cấp số cộng
Bài 7: Cấp số nhân
Bài tập cuối chương 2
Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm
Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Bài tập cuối chương 3