Một dãy số (un) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi u1 = a

Bài 2.50 trang 43 SBT Toán 11 Tập 1: Một dãy số (un) được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

u1 = a, un + 1 = qun + d.

Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử q ≠ 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un.

b) Thiết lập công thức tính tổng Sn của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng (un).

Trả lời

a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:

u1 = a;

u2 = qu1 + d;

u3 = qu2 + d = q(qu1 + d) + d = q2u1 + qd + d = q2u1+ d(q + 1);

u4 = qu+ d = q(q2u1 + qd + d) + d = q3u1 + q2d + qd + d

= q3u1 + d(q2 + q + 1) = q3u1 + d1q31q     (với q ≠ 1).

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát un:

un = qn – 1u1 + d(qn – 2 + qn – 3 + ... + 1) = qn – 1u1 + d1qn11q.

b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau

Sn = u1 + u2 + ... + un

= u­1 + (qu1 + d) + (qu2 + d) + ... + (qun – 1 + d)

= u1 + q(u1 + u2 + ... + un – 1) + (n – 1)d

= u1 + qSn – 1 + (n – 1)d

= qSn – 1 + a + (n – 1)d               (vì u1 = a).

Như vậy, ta được (Sn) cũng là một cấp số nhân cộng với S1 = u1 = a.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính Sn ta có

 Một dãy số un được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

Vậy  Một dãy số un được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 6: Cấp số cộng

Bài 7: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài tập cuối chương 3

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả