Ta có:

x⁵ ‒ x + 2

= x(x⁴ ‒ 1) +2

= x(x⁴ ‒ x² + x² ‒ 1) + 2

= x(x² ‒ 1)(x² + 1) + 2

= x(x² ‒ x + x ‒ 1)(x² + 1) + 2

= x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) + 2

Nhận thấy x(x ‒ 1)(x + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

⇒ x(x ‒ 1)(x + 1)(x² + 1) + 2 chia 3 dư 2, không là số chính phương

Vậy x⁵ ‒ x + 2 không là số chính phương với mọi x thuộc ℤ