Chứng mình rằng với n ∈ ℕ* thì

\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

Khi n = 1, VT = 1

\(VP = \frac{{1\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow \) VT = VP, do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

S_k = 1 + 2 + 3 + … + k = \(\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}\)

Ta phải chứng mình rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

S_k+1 = 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \(\frac{{\left( {k + 1} \right)(k + 2)}}{2}\)

Thật vậy, từ giả thuyết suy ra ta có:

S_k+1 = S_k + (k + 1) = \(\frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2\left( {k + 1} \right)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)

Suy ra đẳng thức đúng với mọi n ∈ ℕ*.