Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số \(\frac{{{n^3} + 2n}}{{{n^4} + 3{n^2} + 1}}\) là phân số tối giản.

Gọi d = ƯCLN (n³ + 2n, n⁴ + 3n² + 1)

Ta có: n³ + 2n ⋮ d

⇒ n(n³ + 2n) ⋮ d

⇔ n⁴ + 2n² ⋮ d (1)

(n⁴ + 3n² + 1) – (n⁴ + 2n²) ⋮ d

⇒ n² + 1 ⋮ d

⇒ (n² + 1)² = n⁴ + 2n² + 1 ⋮ d    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(n⁴ + 2n² + 1) – (n⁴ + 2n²) ⋮ d

⇒ 1 ⋮ d ⇒ d = ± 1

Vậy \(\frac{{{n^3} + 2n}}{{{n^4} + 3{n^2} + 1}}\) là phân số tối giản.