Chứng minh rằng n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với n thuộc mọi số tự nhiên.

Ta có: n(n + 1)(2n + 1)

= n(n + 1)(2n + 2 – 1)

= n(n + 1)(n + 2 + n – 1)

= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n – 1)

Vì n; n + 1; n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp và n – 1; n; n + 1 cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp.

Ta có: 3 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. Do đó, tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Vì 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 2 chẵn 1 lẻ hoặc 2 lẻ 1 chẵn. Do đó, tích 3 số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho 2.

Vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chia hết cho 6.

Vậy n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 với n thuộc mọi số tự nhiên.