Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì n^p – n chia hết cho p với mọi số nguyên dương n.

Ta có n^p – n chia hết cho p (1).

Với n = 1, ta có 1^p – 1 = 0 ⋮ p (đúng).

Giả sử (1) đúng với n = k, với k ≥ 2.

Tức là k^p – k ⋮ p.

Ta cần chứng minh (1) đúng n = k + 1. Tức là cần chứng minh (k + 1)^p – (k + 1) ⋮ p.

Thật vậy, theo nhị thức Newton, ta có:

\({\left( {k + 1} \right)^p} = {k^p} + C_k^1.{k^{p - 1}} + C_k^2.{k^{p - 2}} + ... + C_k^{k - 2}.{k^2} + C_k^{k - 1}.k + 1\).

Ta thấy \(C_k^h = \frac{{k!}}{{h!\left( {k - h} \right)!}}\) chia hết cho p (do p là số nguyên tố).

Do đó biểu thức được viết lại thành (k + 1)^p = k^p + pm + 1, với m ∈ ℤ.

Mà k^p – k ⋮ p nên (k + 1)^p – (k + 1) = k^p + pm + 1 – k – 1 = k^p – k + pm cũng chia hết cho p.

Suy ra (1) đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh.