Chứng minh rằng mọi hàm số f(x) có tập xác định đối xứng, đều có thể viết dưới dạng
Chứng minh rằng mọi hàm số f(x) có tập xác định đối xứng, đều có thể viết dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Chứng minh rằng mọi hàm số f(x) có tập xác định đối xứng, đều có thể viết dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Ta có:
\[f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\] với mọi x ∈ D.
Đặt \[{f_1}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]\], \[{f_2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\] với mọi x ∈ D.
Khi đó \[{f_1}\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right] = {f_1}\left( x \right)\] với mọi x ∈ D.
\[{f_2}\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)} \right] = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] = - {f_2}\left( x \right)\] với mọi x ∈ D.
Vậy f1(x) là hàm số chẵn, f2(x) là hàm số lẻ.