Chứng minh rằng biểu thức: a) x^2 + 2x + 3 luôn dương với mọi x
Chứng minh rằng biểu thức:
a) x2 + 2x + 3 luôn dương với mọi x;
b) −x2 + 4x − 5 luôn âm với mọi x.
a) Ta có: x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2
= (x + 1)2 + 2
Vì (x + 1)2 ≥ 0, " x Îℝ
Suy ra (x + 1)2 + 2 ≥ 2, " x Îℝ
Vậy x2 + 2x + 3 luôn dương với mọi x
b) Ta có: −x2 + 4x − 5 = −(x2 − 4x + 4) − 1
= −(x − 2)2 − 1
Vì (x − 2)2 ≥ 0, " x Îℝ
Suy ra −(x − 2)2 ≤ 0, " x Îℝ
Þ−(x − 2)2 − 1 ≤ −1, " x Îℝ
Vậy −x2 + 4x − 5 luôn âm với mọi x.