Chứng minh rằng A = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x chia hết cho 24 với mọi số nguyên x
Chứng minh rằng A = x4 + 2x3 – x2 – 2x chia hết cho 24 với mọi số nguyên x.
Ta có: A = x4 + 2x3 – x2 – 2x
= (x4 – x3) + (3x3 – 3x2) + (2x2 – 2x)
= x3(x – 1) + 3x2(x – 1) + 2x(x – 1)
= (x – 1)(x3 + 3x2 + 2x)
= (x – 1)x(x2 + x + 2x + 2)
= (x – 1)x[x(x + 1) + 2(x + 1)]
= (x – 1)x(x + 1)(x + 2).
Ta thấy \(\forall \)x ∈ ℤ thì A là tích của 4 số liên tiếp nên chắc chắc A ⋮ 2; A ⋮ 3; A ⋮ 4.
Từ đó suy ra A ⋮ (2.3.4) hay A ⋮ 24 (đpcm).