Chứng minh nếu p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố lẻ thì 8p² + 2p + 1 là số nguyên tố.

Số tự nhiên p có một trong các dạng:

$3k,3k+1,3k+2,$ với  $k\in \mathbb{N}.$

• Nếu p = 3k mà p là số nguyên tố lẻ nên p = 3

Khi đó:

8p² + 1 = 8 . 3² + 1 = 73 là số nguyên tố lẻ;

8p² + 2p + 1= 8 . 3² + 2 . 3 + 1 = 79 là số nguyên tố.

• Nếu p = 3k + 1 thì 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 = 72k² + 48k + 9 ⋮ 3 là hợp số nên loại.

• Nếu p = 3k + 2 thì 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 = 72k² + 96k + 33 ⋮ 3 là hợp số nên loại.

Vậy minh nếu p và 8p² + 1 là hai số nguyên tố lẻ thì 8p² + 2p + 1 là số nguyên tố.