Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào α:

a) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } \).

b) 2(sin⁶α + cos⁶α) – 3(cos⁴α + sin⁴α).

c) \(\frac{2}{{\tan \alpha - 1}} + \frac{{\cot \alpha + 1}}{{\cot \alpha - 1}}\,\,\,\left( {\tan \alpha \ne 1} \right)\).

a) Vì sin²α ≤ 1 và cos²α ≤ 1 nên ta có:

⦁ \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)} = \sqrt {{{\left( {2 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}^2}} = 2 - {\sin ^2}\alpha \).

⦁ \(\sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)} = \sqrt {{{\left( {2 - {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}} = 2 - {\cos ^2}\alpha \).

Khi đó \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 4\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = 4 - \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 4 - 1 = 3\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có:

⦁ sin⁶α + cos⁶α = (sin²α + cos²α)³ – 3sin²α.cos²α.( sin²α + cos²α)

= 1³ – 3sin²α.cos²α.

⦁ cos⁴α + sin⁴α = (cos²α + sin²α)² – 2cos²α.sin²α

= 1² – 2cos²α.sin²α.

Khi đó 2(sin⁶α + cos⁶α) – 3(cos⁴α + sin⁴α)

= 2.(1³ – 3sin²α.cos²α) – 3.(1² – 2cos²α.sin²α)

= 2 – 6sin²α.cos²α – 3 + 6sin²α.cos²α = –1.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) \(\frac{2}{{\tan \alpha - 1}} + \frac{{\cot \alpha + 1}}{{\cot \alpha - 1}} = \frac{2}{{\frac{1}{{\cot \alpha }} - 1}} + \frac{{\cot \alpha + 1}}{{\cot \alpha - 1}}\)

\( = \frac{{2\cot \alpha }}{{1 - \cot \alpha }} - \frac{{\cot \alpha + 1}}{{1 - \cot \alpha }}\)

\( = \frac{{2\cot \alpha - \cot \alpha - 1}}{{1 - \cot \alpha }}\)

\( = \frac{{\cot \alpha - 1}}{{1 - \cot \alpha }} = - 1\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.